复合函数极限试题（高数复合函数极限的例题）

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复合函数求极限,求个归纳的方法

1、拆分复合函数：将复合函数f(g(x))拆分为简单函数f(u)和u(x)，其中u(x)=g(x)。求解u(x)的极限：首先求解u(x)在x0处的极限，假设极限为L。

2、复合函数求极限的步骤：复合函数求极限，先对内层函数求得x0处的极限u0，再求外层函数在u0处的极限。

3、常数法则：如果c是一个常数，而f(x)是一个函数，那么lim(x→a) [c * f(x)] = c * lim(x→a) [f(x)]。这个法则表明，在求极限时，可以将常数提取到极限运算外面。

4、一是 x 趋向于任何一个非0的具体数，直接代入计算即可；二是 x 趋向于正无穷大或负无穷大，1/x趋向于0，y=1是渐近线。x趋向于0时，趋向于0+，1/x趋向于正无穷；趋向于0-，1/x趋向于负无穷。

5、复合函数的连续性是u在x0连续，y在a连续 则复合函数y（u）在点xo连续。最普片与直接的应用就是把极限取进去。把求复合函数极限的问题转化为求复合函数在某点值的问题。

复合函数导数及极限问题

1、主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

2、定义法：链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]则h(a)=f’[g(x)]g’(x)链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。

3、复合函数求导的步骤：分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。相乘：把上述求导的结果相乘。变量回代：把中间变量回代。

4、复合函数导数公式是f[g(x)]=f(u)*g(x)。

复合函数极限问题

f(x)=1(当x=0时)，lim(x-0)f(x)=0，而f(0)=1，而f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值的统一依靠连续性实现的。

记x-1=t，写出f(t)表达式，再求t趋于-1时的极限。左极限是0，右极限是-1，一般极限不存在。

第二个问题：关于例子x*sin(1/x)，首先，这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x，g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x)，而不是由两个函数的复合构成的。

例如有函数y=f(u)，y=1 ，当u不等于0；y=0，当u=0 及u=g(x)，u=x，当x为无理点时；u=0，当x是有理点时.这时x-0时u-0时，u-0时y=f(u)-1，但是复合后的极限limf{g(x)}(x-0)不存在。

=1/3x-1/4x=1/12x.这就是它的等价无穷小！。

就是说在X0的领域没有定义。。此时没有极限。2， 之前几位人回答的方法，都忽略了复合函数求极限一个很重要的条件，既g(x0)不能等于U0，而此时作为G（X0）的SIN（1/X）可以取到0，自然不能用这个方法。

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